MADRID 20 jun. (EUROPA PRESS) -
Usando um conceito chamado partições de números inteiros, os matemáticos descobriram uma nova maneira de detectar números primos, conectando duas áreas da matemática de forma inesperada.
Durante séculos, os números primos capturaram a imaginação dos matemáticos, que continuam a procurar novos padrões para ajudar a identificá-los e sua distribuição entre outros números. Os números primos são números inteiros maiores que 1 e divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos. Os três menores números primos são 2, 3 e 5. É fácil determinar se os números pequenos são primos: basta verificar quais números podem ser fatorados.
Entretanto, quando os matemáticos consideram números grandes, a tarefa de discernir quais são primos rapidamente se torna mais difícil. Embora possa ser prático verificar se, por exemplo, os números 10 ou 1.000 têm mais de dois fatores, essa estratégia é desfavorável ou até mesmo insustentável para verificar se os números gigantes são primos ou compostos. Por exemplo, o maior número primo conhecido, 2 elevado a 136279841 - 1, tem 41.024.320 dígitos. À primeira vista, esse número pode parecer incrivelmente grande. Entretanto, como existem infinitos números inteiros positivos de todos os tamanhos, esse número é minúsculo em comparação com números primos ainda maiores.
Além disso, os matemáticos querem ir além da tediosa tentativa de fatorar os números um a um para determinar se um determinado número inteiro é primo. "Estamos interessados em números primos porque há infinitos, mas é muito difícil identificar padrões neles", diz Ken Ono, matemático da Universidade da Virgínia, conforme citado pela Scientific American. Ainda assim, um dos principais objetivos é determinar como os números primos são distribuídos em conjuntos maiores de números.
Recentemente, Ono e dois de seus colegas - William Craig, matemático da Academia Naval dos EUA, e Jan-Willem van Ittersum, matemático da Universidade de Colônia (Alemanha) - identificaram uma abordagem completamente nova para encontrar números primos. "Descrevemos uma infinidade de novos critérios para determinar com precisão o conjunto de números primos, todos muito diferentes da premissa de que 'se não pode ser fatorado, deve ser primo'", diz Ono. Seu artigo, publicado na revista Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS), oferece uma infinidade de novas definições do que significa um número ser primo, diz Ono.
O QUE SÃO PARTIÇÕES DE NÚMEROS INTEIROS
A estratégia da equipe baseia-se em um conceito chamado partições inteiras. "A teoria das partições é muito antiga", diz Ono. Ela pode ser rastreada até o matemático suíço Leonhard Euler, do século 18, e os matemáticos a expandiram e refinaram ao longo do tempo. "À primeira vista, as partições parecem uma brincadeira de criança", diz Ono. "De quantas maneiras você pode adicionar números para obter outros números? Por exemplo, o número 5 tem sete partições: 4 + 1, 3 + 2, 3 + 1 + 1 + 1, 2 + 2 + 2 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 e 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
No entanto, o conceito acaba sendo uma poderosa chave oculta que abre novas formas de detecção de números primos. "É notável que um objeto combinatório tão clássico - a função de partição - possa ser usado para detectar primos dessa maneira inovadora", diz Kathrin Bringmann, matemática da Universidade de Colônia (Bringmann já havia trabalhado com Ono e Craig, e atualmente é orientadora de pós-doutorado de van Ittersum, mas não participou dessa pesquisa). Ono diz que a ideia para essa abordagem veio de uma pergunta feita por um de seus ex-alunos, Robert Schneider, que agora é matemático na Michigan Technological University.
Ono, Craig e van Ittersum mostraram que os números primos são as soluções de um número infinito de um tipo específico de equação polinomial em funções de partição. Batizadas de equações diofantinas em homenagem ao matemático do século III Diofanto de Alexandria (e estudadas muito antes dele), essas expressões podem ter soluções inteiras ou racionais (o que significa que podem ser escritas como uma fração). Em outras palavras, a descoberta demonstra que "partições inteiras detectam primos de infinitas maneiras naturais", escreveram os pesquisadores em seu artigo na PNAS.
A descoberta vai além da investigação da distribuição de números primos. "Na verdade, estamos acertando em cheio em todos os números primos", diz Ono. Com esse método, você pode inserir um número inteiro maior ou igual a 2 em determinadas equações e, se elas forem verdadeiras, então o número inteiro é primo.
"De modo mais geral", para um tipo específico de função de partição, "mostramos que há um número infinito de equações de detecção de números primos com coeficientes constantes", escreveram os pesquisadores em seu artigo da PNAS. Em resumo, "é quase como se nosso trabalho fornecesse infinitas novas definições de primo", diz Ono. "É realmente incrível.
As descobertas da equipe podem levar a muitas novas descobertas, observa Bringmann. "Além de seu interesse matemático intrínseco, esse trabalho pode inspirar novas pesquisas sobre as surpreendentes propriedades algébricas ou analíticas ocultas nas funções combinatórias", diz ele. Na combinatória (a matemática da contagem), as funções combinatórias são usadas para descrever o número de maneiras pelas quais os elementos de um conjunto podem ser escolhidos ou ordenados. "De modo mais geral, isso demonstra a riqueza das conexões na matemática", acrescenta. "Esses tipos de resultados geralmente estimulam novas ideias em diferentes subcampos."
Esta notícia foi traduzida por um tradutor automático