A estratégia da “cascata de camadas” de Córdoba e Martínez-Zoroa, base da solução para as equações dos fluidos
MADRI, 11 set. (EUROPA PRESS) -
Nos últimos dias, duas equipes distintas de matemáticos e especialistas em inteligência artificial anunciaram abordagens que visam resolver formalmente alguns dos grandes problemas em aberto da matemática: demonstrar se as equações que descrevem o movimento dos fluidos garantem sempre um comportamento regular e previsível ou se, ao contrário, podem falhar em algum momento.
Um dos dois resultados baseia-se em uma estratégia matemática desenvolvida no Instituto de Ciências Matemáticas (ICMAT) por Diego Córdoba, professor pesquisador do Conselho Superior de Pesquisas Científicas (CSIC) no Instituto de Ciências Matemáticas (ICMAT), e Luis Martínez-Zoroa, professor da CUNEF Universidad, para estudar as equações dos fluidos. O segundo também reconhece esses trabalhos como seus antecedentes.
As equações de Euler e de Navier-Stokes descrevem como um fluido, como a água, o óleo ou o ar, se move, com base nas leis básicas da física. Hoje, elas são utilizadas para prever o tempo, projetar aeronaves ou estudar inundações, conforme informou o CSIC.
No entanto, apesar de dois séculos de uso prático, ainda há muitas questões fundamentais sobre elas que permanecem sem resposta. Uma delas questiona se, partindo da descrição de um fluido em repouso ou com um movimento suave, pode surgir, com o tempo, um ponto em que o fluido se comporte de maneira extremamente brusca (uma singularidade). Isso ocorreria se, por exemplo, em um fluxo de água que avança tranquilamente por um cano, de repente, se formasse um redemoinho com velocidade infinita.
A solução dessas equações é, simplesmente, a velocidade do fluido em cada ponto do espaço e em cada momento do tempo. Portanto, quando se busca uma solução que “desenvolva uma singularidade”, trata-se de encontrar uma situação inicial (um dado inicial) e demonstrar que, com o tempo, ela leva a um instante em que essa velocidade, em algum ponto, deixa de ter limite e dispara até o infinito.
Sabe-se que, em fluidos bidimensionais (como uma película finíssima de água que se desloca sobre uma superfície), isso nunca ocorre. Em três dimensões, ou seja, em um fluido real que se move no espaço, como a água que sai de uma torneira ou o ar que envolve a asa de um avião, isso continuava sendo uma incógnita.
Essa questão, no caso de se considerar um fluido com viscosidade (ou seja, as equações de Navier-Stokes), é um dos seis grandes desafios da matemática que a Fundação Clay selecionou no ano 2000, com um prêmio de um milhão de dólares para quem a resolvesse, e é essa que a OpenAI anunciou agora como resolvida.
A empresa afirma ter encontrado uma singularidade nas equações. Isso não diz tanto sobre o mundo físico quanto sobre as próprias equações: revela que, em circunstâncias muito específicas, o modelo deixa de ser capaz de descrever o movimento do fluido a partir de um determinado instante.
A ABORDAGEM QUE SE DESVIOU DA LINHA DOMINANTE
Diego Córdoba e seu ex-aluno de doutorado Luis Martínez-Zoroa vêm trabalhando nessas questões há cerca de uma década, com um mecanismo próprio baseado em ferramentas matemáticas clássicas, lápis e papel, ao qual chamaram de “cascata de camadas de vorticidade”.
“A ideia consiste em construir o fluido por meio de uma sucessão infinita de camadas de vorticidade, cada vez menores e mais concentradas. Cada camada, considerada isoladamente, é perfeitamente regular e não produz nenhuma singularidade. No entanto, elas são projetadas para interagir de maneira muito precisa: as de maior escala geram uma deformação no fluido que amplifica as seguintes, situadas em escalas menores”, explicam Córdoba e Martínez-Zoroa.
Os pesquisadores acrescentam que “é semelhante a uma sucessão de engrenagens: a primeira aciona a segunda, esta acelera a terceira e assim por diante”. “As camadas são ativadas em intervalos de tempo cada vez mais curtos, que se acumulam em um instante final. Antes desse instante, a solução continua sendo clássica e suave; ao chegar a ele, a amplificação acumulada faz com que alguma grandeza, como a velocidade, se torne infinita, embora a energia total continue sendo finita”, exemplificam.
UMA SUCESSÃO DE MODELOS PARA ISOLAR CADA DIFICULDADE
A origem deste programa remonta à tese de doutorado de Martínez-Zoroa, orientada por Córdoba no ICMAT, e aos trabalhos conjuntos que realizaram a partir de 2021.
“A ideia verdadeiramente disruptiva foi mudar a pergunta. Em vez de tentar descobrir uma única solução especial que entrasse em colapso, decidimos criar a singularidade a partir de infinitas soluções regulares, organizadas de forma que cada uma amplificasse a seguinte. Não se trata de uma busca cega por tentativa e erro, mas de projetar antecipadamente como cada camada deve interagir com as demais para que, em conjunto, produzam a singularidade”, afirmam Córdoba e Martínez-Zoroa.
Em 2023, eles aplicaram com sucesso esse mecanismo às equações de Euler, que descrevem um fluido que, ao contrário das equações de Navier-Stokes, não apresenta atrito interno, demonstrando que esse sistema poderia desenvolver uma singularidade de forma explícita (um resultado ainda não publicado em revista).
Eles também o empregaram para estudar a equação do meio poroso incompressível, com resultados ainda em fase de pré-impressão, e uma versão hipodissipativa das equações de Navier-Stokes, em um trabalho em colaboração com Fan Zheng publicado no *Archive for Rational Mechanics and Analysis*.
Nessas construções anteriores, a singularidade na solução surgia sob uma força externa específica atuando sobre o fluido. Mas construir a singularidade não é suficiente: é preciso fazê-lo sem que a própria força que atua sobre o fluido se torne infinita no processo.
Ao chegar a esse instante, vários dos termos da equação (aqueles que medem aceleração, pressão ou atrito) crescem sem limite separadamente; se não se cancelarem entre si com precisão, essa força divergente revelaria que a explosão vem de fora, e não do próprio fluido.
“O desafio era criar uma velocidade que se tornasse singular e, ao mesmo tempo, fazer com que todos os termos divergentes se cancelassem, de modo que a força e todas as suas derivadas permanecessem suaves”, explicam. Alcançar uma força tão regular nas condições exatas do Problema do Milênio era o obstáculo que ainda permanecia.
A BASE RECONHECIDA PELAS EQUIPES DE IA
Os pesquisadores relatam que Tristan Buckmaster e Levent Alpöge adotaram explicitamente seu programa “como ponto de partida e, com uma ajuda muito importante do Claude e de diferentes versões do Codex, conseguiram estendê-lo a forças suaves para certas equações dos fluidos (IPM, Boussinesq e Euler tridimensional)”.
“Por outro lado, a OpenAI lançou milhares de agentes de IA trabalhando em paralelo. Depois de obter primeiro um resultado para Euler, concentraram aproximadamente 10.000 agentes na equação de Navier-Stokes. Segundo a OpenAI, os agentes levaram cerca de 88 horas para produzir a demonstração, e o GPT-6 Astra levou mais 17 horas para formalizá-la no Lean”, acrescentam.
Antes do anúncio da OpenAI, Buckmaster já havia ido além ao valorizar publicamente a contribuição espanhola. “À luz desse trabalho, acredito que Luis Martínez-Zoroa mereça a Medalha Fields”, escreveu ele em um comunicado publicado em seu site.
Os resultados da OpenAI e de Buckmaster e Alpöge foram formalizados por meio do assistente de demonstração Lean, que certifica que a cadeia de deduções é logicamente correta e oferece, assim, um primeiro indício de que o resultado é válido, mas ainda não passaram pelo processo de revisão por pares habitual na comunidade matemática.
Esta notícia foi traduzida por um tradutor automático