MADRID, 5 maio (EUROPA PRESS) -
Um matemático da UNSW Sydney descobriu um novo método para enfrentar o desafio mais antigo da álgebra: resolver equações polinomiais de ordem superior.
Os polinômios são equações que envolvem uma variável elevada a potências, como o polinômio de grau dois: 1 + 4x - 3x* = 0.
Essas equações são fundamentais tanto para a matemática quanto para a ciência, onde elas têm amplas aplicações, como ajudar a descrever o movimento dos planetas ou escrever programas de computador.
No entanto, historicamente, tem sido difícil encontrar um método geral para resolver equações polinomiais de "ordem superior", em que x é elevado à quinta potência ou mais.
Agora, o professor honorário da UNSW (University of New South Wales), Norman Wildberger, revelou uma nova abordagem usando novas sequências numéricas, descritas na revista The American Mathematical Monthly, juntamente com o cientista da computação Dr. Dean Rubine.
"Nossa solução reabre um livro anteriormente fechado na história da matemática", disse o professor Wildberger em um comunicado.
O PROBLEMA DO POLINÔMIO
As soluções para polinômios de segundo grau existem desde 1800 a.C., graças ao "método de completar o quadrado" dos babilônios, que evoluiu para a fórmula quadrática tão familiar a muitos estudantes de matemática do ensino médio. Essa abordagem, que usa raízes de números chamados "radicais", foi posteriormente estendida para resolver polinômios de terceiro e quarto graus no século XVI.
Em 1832, o matemático francês Évariste Galois mostrou como a simetria matemática subjacente aos métodos usados para resolver polinômios de grau inferior tornou-se impossível para os de grau cinco e superior. Portanto, ele concluiu que nenhuma fórmula geral poderia resolvê-los.
Soluções aproximadas para polinômios de grau superior foram desenvolvidas desde então e são amplamente usadas em aplicações, mas o professor Wildberger afirma que elas não pertencem à álgebra pura.
REJEIÇÃO RADICAL DO NOVO MÉTODO
O problema, segundo ele, está no uso de raízes terceiras ou quartas na fórmula clássica, que são radicais.
Os radicais geralmente representam números irracionais, que são decimais que se estendem ao infinito sem repetição e não podem ser escritos como frações simples. Por exemplo, a raiz cúbica de sete (1,9129118...) se estende indefinidamente.
O professor Wildberger diz que isso significa que a solução verdadeira nunca poderá ser totalmente calculada porque "seria necessário um volume infinito de trabalho e um disco rígido maior que o universo".
Portanto, quando presumimos que a raiz cúbica de sete "existe" em uma fórmula, presumimos que esse decimal infinito e interminável é, de alguma forma, um objeto completo.
É por isso que o professor Wildberger diz que não acredita em números irracionais. Segundo ele, os números irracionais se baseiam em um conceito impreciso de infinito e geram problemas lógicos na matemática.
A rejeição dos radicais pelo professor Wildberger inspirou suas contribuições mais conhecidas para a matemática, a trigonometria racional e a geometria hiperbólica universal. Ambas as abordagens se baseiam em funções matemáticas, como quadrado, adição ou multiplicação, em vez de números irracionais, radicais ou funções como seno e cosseno.
Seu novo método para resolver polinômios também evita radicais e números irracionais, baseando-se em extensões especiais de polinômios chamadas "séries de potências", que podem ter um número infinito de termos com potências de x.
Ao truncar a série de potências, o professor Wildberger diz que eles conseguiram extrair respostas numéricas aproximadas para testar a eficácia do método.
"Uma das equações que testamos foi uma famosa equação cúbica usada por Wallis no século XVII para demonstrar o método de Newton. Nossa solução funcionou perfeitamente", disse ele.
NOVA GEOMETRIA PARA UMA SOLUÇÃO GERAL
No entanto, o professor Wildberger diz que a prova do método se baseia, em última análise, na lógica matemática.
Seu método usa novas sequências de números que representam relações geométricas complexas. Essas sequências pertencem à combinatória, um ramo da matemática que estuda padrões numéricos em conjuntos de elementos.
A sequência combinatória mais famosa, chamada de números de Catalão, descreve o número de maneiras pelas quais um polígono (qualquer figura com três ou mais lados) pode ser dividido em triângulos.
Esses números têm aplicações práticas importantes, como algoritmos de computador, design de estrutura de dados e teoria dos jogos. Eles aparecem até mesmo na biologia, onde são usados para calcular os possíveis padrões de dobramento das moléculas de RNA. Além disso, eles podem ser calculados por um simples polinômio de dois graus.
"Entende-se que os números catalães estão intimamente relacionados à equação quadrática. Nossa inovação está na ideia de que, se quisermos resolver equações de maior complexidade, devemos procurar análogos de maior complexidade dos números catalães.
O trabalho do professor Wildberger amplia esses números catalães de uma matriz unidimensional para uma multidimensional, com base no número de maneiras pelas quais um polígono pode ser dividido por linhas que não se cruzam.
Encontramos essas extensões e mostramos como elas levam logicamente a uma solução geral das equações polinomiais. Essa é uma revisão drástica de um capítulo básico de álgebra.
Até mesmo as equações de quinto grau (um polinômio de grau cinco) agora têm soluções, diz ele.
Além do interesse teórico, diz ele, o método oferece uma grande promessa prática para a criação de programas de computador que possam resolver equações usando séries algébricas em vez de radicais.
"Esse é um cálculo fundamental para grande parte da matemática aplicada e, portanto, representa uma oportunidade de melhorar os algoritmos em uma ampla gama de áreas."
O professor Wildberger diz que o novo conjunto de números, que ele e o Dr. Rubine chamaram de "Geode", também oferece grande potencial para pesquisas futuras. "Apresentamos esse conjunto de números fundamentalmente novo, Geode, que amplia os números catalães clássicos e parece ser a base para eles. Esperamos que o estudo desse novo conjunto Geode levante muitas novas questões e mantenha os combinacionistas ocupados por muitos anos. De fato, há muitas, muitas outras possibilidades. Isso é apenas o começo", concluiu.
Esta notícia foi traduzida por um tradutor automático